给我一个支点，我将移动整个地球

在古希腊和科学家中，最富于传奇色彩的莫过于阿基米德了。由于阿基米德有科学家的智慧和专注，有发明家的机巧，又有爱国者的悲壮，他不仅受到当时人们的敬重和崇拜，也长期为后人所景仰，以至2000年来，人们仍不断传颂着关于他的动人故事。

阿基米德（Archineds，前287—前212）是叙拉古王海厄罗（Hiero II，前308—前216）的亲戚，与王子吉伦（Gelon，后继承王位）很友善，他的父亲菲迪亚斯（Phidias）是天文学家。

阿基米德很小就受到良好的教育。父亲的影响使他对几何学有浓厚的兴趣，并熟悉欧多克索的方法。他早年曾前往当时希腊的学术中心亚历山大，跟欧几里得的门徒学习，还掌握了欧几里得《几何原本》以外的很多知识。在那里，阿基米德结识了科农（Conon of Samos，活动于公元前245年前后）、多西修斯（Dosithueus，活动于前276—前195）等很多朋友。回到家乡叙拉古后，阿基米德仍和他们保持密切的联系并交流研究成果，阿基米德的很多成果往往在发表前都曾寄给他们。

金冠之迹是关于阿基米德的一个家喻户晓的故事。据维特鲁维厄斯（Marcus Virruvius Pollio，公元前1世纪上半叶至约公元前25年）说，叙拉古的海厄罗亚治国有方，政治威望及权势与日俱增，他为了报答诸神的恩泽，决定制作一个华贵的神龛，里面装一顶纯金的王冠，以奉献给神灵。

制造金冠的任务交给了一位技艺精湛的金匠，金匠领到金子后精心制作，如期完成了任务，王冠做得确实精美。国王对此很满意，正要重奖这位心灵手巧的金匠，不料这时有人告密说金匠欺骗了国王，他偷走了一部分金子，而以同样重量的银子掺入。国王听了很恼怒，想要重责金匠，又怕冤枉好人，因为他的确没有办法来判断金冠中是否掺假。这样，他想到了聪明才高的阿基米德，要他想个办法来鉴定金冠中是否掺有银子。阿基米德接受任务后即着手想办法，他想了想，试了试，虽然用了很多办法，却还是没能判定是否掺假。阿基米德为此事费了很多精神，非常苦恼，他觉得也许洗个澡后会清醒些，便跑到公共浴室去洗澡，心里还老挂记着这个难题。当他身体浸入盛满水的浴盆时，盆里的水一下溢了出来，而自己的身体顿觉重量减轻。阿基米德突然觉得眼前一亮，心里豁然开朗，猛地悟到不同材质的物体在重量相等的情况下，因其体积不同，则放入水中时排去的水必定不相等。根据这一道理，就不仅可以判断金冠是否掺有杂质，而且可以知道到底偷去了多少金子。这一发现使阿基米德欣喜若狂，他忘了自己是在公共浴室里洗澡，一下跳了起来，赤身裸体直往家里跑，准备回家马上做实验，嘴里不断地大呼“尤里卡！尤里卡”！

这样，阿基米德通过称出排出的水的重量的办法（关于具体操作，有不同的方法）终于判定金冠里掺有银子，从而揭穿了金匠的劣行。

“尤里卡”（EurEKA）是“我找到了”的意思，由于阿基米德的这个故事妇孺皆知，这个词也就成了西方世界的共同语言，表达突然获得某种发现时的惊呼。今天欧洲有一项科技发展计划，还取名叫“尤里卡计划”哩！

阿基米德又经过反复实验和认真研究，把经验提高到理论，他终于发现了这样一条原理：物体在流体中减轻的重量，等于它排开的流体的重量。这条原理后来称为阿基米德定律，它是流体静力学的基本原理。

虽然阿基米德神情专注地研究问题，但他并不是那种死读书的人。他常常结合理论和实际，发明一些有用的机械。

阿基米德研究杠杆平衡，他发现选取适当的支点可以用一个给定的力移动一个给定任意重量的物体，从而建立了杠杆原理，并讨论了平衡的各种情况，基于这种理论认识和数学证明，阿基米德声称“给我一个支点，我将移动地球！”虽然大家佩服阿基米德的才学，相信他的谦逊，但这句石破天惊的话让人们还是觉得玄乎。

叙拉古的国王海厄罗也有些怀疑，阿基米德说，按照他的论证，如果有另外一个地球，他跨过去就可以移动这一个。国王很震惊，但又没法验证他的话，因为没法找到另外一个地球。于是国王要求阿基米德把问题简化了，用一个很小的力来移动一个很重的物体，这样便也可以说明问题。

阿基米德从国王的器械库里选出了一艘有三根桅杆的大货船，让它装满游客和货物。然后他装好一个复杂的滑轮机械，自己在一个很远的地方端坐着。国王和群臣以及围观的群众逐渐安静下来，他们屏着呼吸，看着阿基米德。只见他平静地坐在那里，毫不费力地收拉着绳子，好像没事一样，悠闲自若。过了一会儿，人们还是看着像刚才一样，正在纳闷之际，突然听到船上的人欢呼起来，大家回头一看，只见这艘装满人货的大船平缓安全地移动起来。所有的人都欣喜若狂，人们高呼着阿基米德的名字，感谢上帝给叙拉古派来了一位具有如此智慧的伟人。

阿基米德很平静地站了起来，他邀请国王亲自试试。国王坐到阿基米德刚才的位置，按他的样子拉着绳子，果然很轻易地拉动了绳子，船也慢慢地移动着。国王这下完全信服了，他当即宣布：“从今天起，不管阿基米德说什么，我全部相信！”

阿基米德能移动地球的豪言壮语体现了一个科学家的伟大胸怀和对科学精神的崇信。不过，这种能移动的说法只是在理论上讲能行得通，而实际上还是有问题的。首先，人要借助于地球才能使上力，如果要移动地球，不仅要找到一个强大的支点，而且还需要什么东西给人产生重力，这些在现实中都不可能存在。其次，不管是杠杆还是滑轮的绳子或支点，都没有能承受地球重量的强度。再者，即使上面的要求在理论上可以得到满足，要移动地球也不可能。有人估计，如果用杠杆来举起地球，假设用60千克的力加在动力臂一端，那么要移动地球1/100毫米，动力臂一端应移动10万亿千米以上，如果每天24小时不停地短跑走过这段距离，也至少需要3万年。因此，阿基米德即使用尽毕生的力量，也休想移动地球一分一毫。阿基米德这所以这样夸下海口，可能是因为他把地球的重量估计得太轻了。不过，从理论上讲，如果有一个支点支持有足够强度的杠杆，人又能使上劲，只要动力臂与阻力臂之比足够大，人还是可以移动地球的，例如人移动1米，地球就移动10-23米，只是10-23米在实际中完全不可计算了，因为它比一个原子的直径还小得多哩。

与一般只埋头于书斋里的学问的学究相比，阿基米德则不是一个不问时事的人。相反，他是一个伟大的爱国者。罗马名将马塞勒斯率领大军围攻叙拉古。罗马军队来势凶猛，志在必得，叙拉古危在旦夕。就在这生死存亡之际，阿基米德利用自己的天才智慧和丰富知识，发明了很多神秘莫测的武器，给来犯之敌以沉重的打击。

叙拉古地处地中海，罗马军队是从海上和陆地攻击叙拉古的。阿基米德发明了一种类似起重机的机械，从空中远远地伸出一只“巨手”，把靠近城墙的敌船抓起，吊在高空中，然后再放下，船只重重地摔下去，有的摔得粉碎，有的落入海底。马塞勒斯也不示弱，用8艘5层橹船，每两艘连锁在一起，在上面架起一种叫“萨姆布卡”的武器，准备强行攻城。可是没等敌船靠近，叙拉古士兵就用阿基米德发明的一种强有力的巨弩，发射出大量的大块石头，像陨石雨一样，把“萨姆布卡”砸得七零八落。同时又万弩齐发，飞箭如雨，罗马士兵死伤无数。吓得目瞪口呆的马塞勒斯只好下令暂时退兵，再作计议，等待陆上进攻的消息。可是陆地进攻也遭到叙拉古人的顽强抵抗，虽然进攻多次，也未得逞，反而损失惨重。

由于正面强攻受挫，罗马人决定夜间偷袭。他们认为阿基米德的武器发射的飞弹只是对远距离的目标有效，如果夜里避开守城士兵的视线，偷偷进军到城墙边上，这样便无能为力了。哪知阿基米德早已制造了一种叫做“蝎子”的武器，从城墙的孔洞里发射出如雨般的炮弹，把罗马军队打得落花流水。

还有一种传说，说阿基米德曾发明一种巨大的火镜，反射太阳光把敌船烧毁了。鉴于当时的技术似乎还不够发达，一般人认为这可能是有人根据阿基米德已经发现抛物面反射镜能聚焦这一性质而夸张出来的故事。有的书上说阿基米德发明一种武器，发射火球到敌船上，烧毁敌船，这大概是可信的。

由于阿基米德成功地将自己掌握的科学技术用于保卫祖国的军事斗争中，也由于叙拉古人民的顽强抵抗，罗马军队进攻叙拉古的计划长期无法实现。阿基米德的发明使敌人心惊胆战，成了惊弓之鸟，以致只要看到城上有一根绳子或一块木头扔出来，罗马士兵就立即抱头鼠窜，惊呼：“阿基米德的武器又在瞄准我们了！”

面对阿基米德具有巨大威力的武器，罗马军队非常沮丧。马塞勒斯曾嘲笑自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个精通几何学的‘百手巨人’（Briareus，希腊神话中的巨人，有50个头，100只手）打下去吗？他轻松稳当地坐在海边，把我们的船只像玩掷钱游戏一样抛来抛去，弄得我们的船队一塌糊涂。他还向我们打来那么多飞弹，简直比神话里的百手魔怪还厉害！”

在攻坚战术失败后，罗马军队改变了作战的策略，采取长期围困的办法消耗叙拉古。公元前212年，叙拉古终因粮食耗尽、叛徒出卖而被罗马军队攻陷。祖国的沦陷，也意味着阿基米德将走完自己光辉的一生。

马塞勒斯是一位有远见、重知识的高级将领。在攻占叙拉古时，他发布了很多禁令，限制士兵的野蛮行径。但残酷的战争仍免不了罗马将士对战败国的劫掠，叙拉古仍惨遭涂炭。阿基米德也不幸成了战争的牺牲者。

对阿基米德，马塞勒斯非常敬重他的学识、智慧和精神，他曾下令手下的兵将不许伤害这位贤德智者。可是，阿基米德还是死在罗马士兵手里。这使马塞勒斯甚为悲痛。除了严惩这位士兵之外，他还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤，并表达了深切的敬意。他又给阿基米德修墓，并立碑表示景仰之情。在碑上刻有一个图案：球外切于圆柱体，完成了阿基米德生前表示要在墓碑上铭刻这个图形的愿望。阿基米德发现并证明了球的体积和表面积，分别等于它的外切圆柱的体积和表面积的2/3。阿基米德把这视为他最得意的成果。

关于阿基米德之死，在具体细节上有不同的说法。最早的一个说法是在兵荒马乱中，侵略军大肆杀戮。阿基米德当时正在沙盘（希腊人在平板上铺上细沙，在上面进行书写，演算和画图，这种铺有细沙的平板叫做沙盘）画图，一个罗马士兵一剑将他刺死了，而他并不知道他杀死了一位智慧之星。

又有一种说法是阿基米德正给马塞勒斯带来他的数学仪器、日晷仪、球以及测量太阳这类天体的工具，一些罗马士兵遇到了他，以为他是一个富人，带了很多金银财宝，便起了谋财害命之心，把他杀了。

下面的几种说法则更能体现阿基米德的个性特点：

（一）罗马士兵见到阿基米德，就不问是谁便要动手杀人。阿基米德看了他一眼，请求他等一会儿，以免让这道只研究了一半而尚未解决的问题留给后人。可士兵压根儿就不懂这些，便立即动手把他杀了。

（二）一个罗马士兵发现了阿基米德，命令他跟他去马塞勒斯那里。而阿基米德沉浸于他的问题证明之中，不想放下问题就跟士兵走，便严正地拒绝道：除非我证明了这个问题，否则我不会跟你去的！士兵被激怒了，抽出利剑，不管三七二十一就把阿基米德杀了。

（三）阿基米德在俯身画一些机械图，一个罗马士兵出现了，立即过来要抓他去做俘虏。阿基米德正在全神贯注地画图想问题，没有注意到罗马士兵来了，还以为是个闲人呢，便说道：“站开点，伙计，别靠近我的图！”那人继续过去拽他，他才抬头看清是一个罗马士兵，立即喊道：“给我一件器械！”士兵给吓了一跳，立刻杀了他，老人就这样惨死在士兵的屠刀下。

阿基米德虽然以75岁高龄牺牲在罗马侵略者手里，留下许多遗憾，但所幸的是，他的许多著作经历了2000多年历史的汰选，保留至今。在这些著作中有一本十分重要，现称《方法论》。它是20世纪对希腊文献的重大发现。

1906年，哥本哈根大学的古典哲学教授J·L·海伯格（Heiberg，1854—1928）在土耳其的君士坦丁堡发现了一部擦去旧字后重新写上新字的羊皮纸书（这种用羊皮做成的书写材料，可多次使用。它是西方古代常用的文献材料，在公元3—13世纪使用很普遍）。旧的字迹没有擦干净，可以判定是10世纪时写上去的。擦去之后，大约在13世纪写上了一大堆正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献保存下来。细心的海伯格发现旧的字迹隐约可辨，便仔细辩阅，他惊喜地发现这是阿基米德著作的抄本。通过摄影等技术的处理，终于使旧字迹重现出来。1908年，经过不懈努力，185页的文稿（除很少量完全辨认不了者外）重见天日。这件羊皮纸文献中有一些是现存尚有其他希腊文本的著作；有的著作此前只存有拉丁文译本，这件文献的发现弥补了没有希腊文原本的缺憾。更为重要的是其中有一封阿基米德写给埃拉托塞尼的信，它是前所未见的，这就是《方法论》。

阿基米德发现了很多具有高难度的几何定理，其中有的即使使用今天的微积分来处理，也不是那么轻而易举的事，而阿基米德不仅发现了，而且证明了。那么，阿基米德是如何获得这样高难度的结果的呢？在《方法论》发现之前，这一直是留在数学史家心中的谜。《方法论》的发现，解开了这一谜团。

原来，阿基米德是用一种力学方法作出他的美妙发现的，这种方法的中心思想是要计算一个未知量（图形的面积、体积等），先将它分解成许多微小量（如面积、体积分别分解为线段、薄片），再用另一组容易计算总和的同类的微小量来与之比较，通常是建立一个杠杆，找到一个合适的支点，使两组微小量正好平衡。计算出那组容易求积的微小量之和后，利用平衡原理，就可以求出未知量来。下面我们以《方法论》中的命题为例，说明阿基米德的方法。

这个命题：一个旋转抛物面（一抛物线围绕它的轴旋转而成的曲面）被一垂直于轴的平面所截，则抛物面与截面所围成的体积等于同底等高的圆锥体积的3/2倍。

设BAC是过轴的平面与抛力气面相交止的抛物线，A为顶点。又设BDC是垂直于轴的平面与平面ABC的交线，D为轴与BDC之交点。延长DA至H，使AH=DA。过A作平行于BC的直线EF，作CF、BE各垂直于EF, E、F为垂足。在DA上任取一点S，过S作平行于BC的直线，分别交BE、FC于M、N，交抛物线于O、P。考虑圆柱EFCB（以BC为直径的圆是其底面圆，DA为高），圆锥BAC（底、高同圆柱EFCB）、抛物面与垂直于DA的平面所围成的立体抛物体BAC。

由抛物线的性质，有D A：A S=B D2：O S2（这是因为D A=a B D2，A S=a O S2），所以HA：AS=MS2：OS2，即得HA：AS=以MS为半径的圆：以OS为半径的圆=圆柱EFCB之截面圆：抛物体BAC之截面圆。由S之任意性知所有垂直于DA的平面所截得的截面圆均有以上关系式成立。

我们把所有半径为MS的圆合并起来视为圆柱EFCB，把所有半径为SO的圆合并起来视为抛物体BAC。那么圆柱EFCB与抛物体BAC关于支点A平衡，这时抛物体的全部重量放在H点，圆柱全部重量放在它的重心K，显然K是AD之中点。于是HA：AK=圆柱：抛物体所以，抛物体=圆柱=圆柱=圆锥BAC。

就这样，阿基米德用力学平衡的方法求出了抛物体体积。

值得注意的是，这种方法阿基米德并不认为是一种合格的证明方法，在别的地方他还要用严格的几何方法去证明（一般是归谬法）它（此命题的证明详见《劈锥曲面与回转椭圆体》）。这是由于古希腊关于无限的讨论陷入危机，数学家极力避免使用不可分量是否可积的观念所造成的影响。所以阿基米德虽然用到不可分量可积的观念去推测问题的答案，但并不认为这是符合几何学要求的方法。同时，他也回避了这些微小量是否有宽度或厚度、它们的数量是有限还是无限这样一些问题。

17世纪微积分产生以前的求积方法，其实并不比阿基米德的方法高超多少，只是当时的数学家对他们的求积方法更加自信，而不像阿基米德那么刻意追求严格的几何证明了。

《方法论》的前言中有这样一个问题是非常有趣的：两个外切于同一正方体的正交圆柱所围成的体积等于正方体体积的2/3。由于羊皮纸被擦，获得这个问题的具体方法没有保存下来。数学史家Zeuthen按照阿基米德的思路给出了一个方法。这样一个立体也出现在中国古代的数学著作中。它是公元3世纪刘徽在注《九章算术》开立圆（立圆即球）术时为求球体积中设计的，并取名牟合方盖。刘徽认为正方体的内切牟合方盖与内切球的体积为4：π，如果求出了牟合方盖的体积，就得到了球体积。但牟合方盖的体积直到2个多世纪后的祖暅才得出正确的公式。

《论螺线》是阿基米德的具有开拓性的成果之一。在这篇论文中，他引入了今天名为阿基米德螺线的曲线：一条射线以匀速绕着它的端点旋转，同时一动点从端点出发沿着射线做匀速运动，那么运动点就描绘出一条（阿基米德）螺线。射线初始的位置叫始线（OA），固定端点叫原点。始线与旋转一圈所产生的螺线所围面积叫做“第1面积”。

阿基米德讨论了螺线所围的面积，螺线的切线，得出了很多有趣的命题。如命题21证明了第1面积等于第1圆（以原点为圆心，以始线被螺线旋转第1周时所截得的线段的半径所作的圆）的面积的1/3。又如命题20：P是螺线第一周上的任意点，OT⊥OP，过P的切线交OT于T，以OP为半径的圆交始线于K，交PT于R。那么OT等于圆弧KRP。

这类独具匠心、难度很大的问题在阿基米德的著作中还有很多。不仅对几何学、算术、力学、机械制造等阿基米德具有杰出的创造，而且在天文方面也做出了有价值的工作。据说马塞勒斯攻占叙拉古时，曾获得两座阿基米德制作的天文仪器。一座是天球仪，上面刻有各个星座；另一座可视为天象仪，借助机械或水力可以演示日、月、行星的运动，以及日食、月食等天象。

在科学史上，有的科学家勇于开拓新的领域，建立新的理论；有的科学家善于完善已有的理论框架，而兼有两方面优点的却不多见。阿基米德正是这少数者中的杰出代表，他把惊人的独创和严格的论证融为一体，还能理论联系实际，使二者互相促进，从而在各方都取得了惊人的成果。鉴于阿基米德超越时代的工作，他被誉为“数学之神”，而数学史家贝尔（Bell，1883—1960）则说：任何一张列出有史以来3个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德。可见他的成就之大，影响之深远。

出于对这位独步古今的科学家的景仰，后世不时有人想去阿基米德的墓地凭吊。公元前一世纪，罗马的著名政治家和作家西塞罗（Marcus Tullius Cicero，前106—前43）在西西里任财政官员，想去墓地凭吊阿基米德。可当地的居民竟否认有这么一个墓。一些人用镰刀割去杂草，开辟小径，终于发现了一座高出杂树不多的小圆柱，上面刻着的球外切于圆柱的图形还清晰可见，墓志铭虽然有一半被风侵雨蚀，但仍依稀可辨。又过去2000多年后，时光的流逝又湮灭了这座墓碑。现在发现有一人工凿砌的石窟，宽约10余米，内壁长满了青苔，被人说成是阿基米德之墓，但没有任何证据能证明其真实性。前些年，发现真正阿基米德墓地的消息仍时有耳闻，但难辨真假。然而这些发现正反映出阿基米德的英灵不死，他的爱国热忱、天才智慧和科学精神仍然在我们这个时代大放光辉，激励人们为科学技术和自由幸福而奉献自己的力量。