古代几何学的极致

公元前4世纪末至前2世纪初，古希腊数学达到了它们的黄金时代，出现了很多优秀的数学家，而其中与欧几里得、阿基米德并称亚历山大前期三大数学家的又一杰出代表就是阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，前262—前190）。

阿波罗尼奥斯的家乡在黑海与地中海之间安纳托利亚南部古国潘菲利亚的主要城市佩格尔（Perga或Perge），但他年轻时就去了亚历山大，跟随欧几里得的后继者学习。到托勒密四世（Ptolemy＆nbsp；Philopator，前221—前205在位）时期，他在天文学研究方面已经很有名气。阿波罗尼奥斯在亚历山大学习一段时期后，又到过小亚细亚西岸的帕加马王国。这里的国王阿塔罗斯一世（Attalus I soter，前269—前197年，前241—前197年在位）除崇尚武功外，还注重文化建设。帕加马有一个仅次于亚历山大图书馆的大图书馆，加以学术空气浓厚，阿波罗尼奥斯在这里收益很大。在这里，他结识了一些朋友，其中包括欧德莫斯。阿波罗尼奥斯还去过以弗所，结识了菲洛尼底斯，并介绍他与欧德莫斯认识。

阿波罗尼奥斯的主要成就是建立了完善的圆锥曲线理论。他所撰的《圆锥曲线论》8卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，反映了他的天分之高、用功之勤。直到1800年后的帕斯卡和笛卡儿才在这方面做出实质性的推进。

圆锥曲线的产生起因于二倍立方体的作图问题。希波克拉底把问题归结为求a与2a的两个比例中项x、y：a：x=x：y=y：2A。如果a为正方体之一边，那么x就是所求的正方体的边。显然，x2=ay，＆nbsp；y2=2ax, xy=2a2。这三个方程在今天的解析几何中前两个对应着抛物线，后一个对应着双曲线。如果这抛物线和双曲线能作出，那么比例中项就可以作出。门内劳斯发现这两种曲线，并用来解决二倍立方体问题。

门内劳斯用垂直于圆锥母线的平面去截圆锥面，当圆锥的顶角（母线与轴的夹角之2倍）分别为锐角、直角和钝角时，所得到的截线分别称为“锐角圆锥截线”（亦即椭圆）、“直角圆锥截线”（亦即抛物线）、“钝角圆锥截线”（亦即双曲线）。这些名称后为欧几里得、阿基米德沿用。门内劳斯之后，稍晚的阿里斯泰奥斯（Aristaeus，约活跃于公元前340）著有《立体轨迹》5卷，论述圆锥曲线。不久欧几里得又撰《圆锥曲线》4卷，更有系统地论述圆锥曲线的性质。欧几里得还在《现象》一书中指出：用平面截正圆柱或正圆锥，只要它不平行于底，所得截线就是“锐角圆锥截线”，其形状有似盾牌。

阿基米德更进一步证明任何一个椭圆都可以视为一个圆锥的截线，并且这个圆锥面的顶点的选择有相当大的任意性。他还对圆锥曲线与直线所围成的面积，以及由圆锥曲线所产生的旋转体做了大量深入的研究，解决了一些极为困难的求面积、体积、重心等问题，为圆锥曲线理论积累大量的知识。

阿波罗尼奥斯正是在大量前人工作的基础上，进行更深入的研究，发现了很多新的定理，并把这些知识逐条分析，重新组织，终于建立了有关圆锥曲线的一个完整的体系，铸成了他的巨著《圆锥曲线论》。

《圆锥曲线论》原8卷，现存7卷，有387个独立命题和一些定义。全书完全用文字来表达，没有使用符号和公式，因此叙述冗长，有时也不免言辞含混，读起来比较费劲。

前4卷是基础部分。卷1前有阿波罗尼奥斯写给欧德莫斯的信（前3卷寄给了他），扼要说明此书的写作经过和主要内容，说他给出的3种截线的定义与性质，比其他人更为全面和更具一般性。之后给出了8条定义。在阿波罗尼奥斯之前，用直角三角形绕它的一条直角边旋转一周来定义圆锥。阿波罗尼奥斯的定义有所不同：设V是圆所在平面外的一点，连结V与圆周上任一点S的直线，当S绕圆周移动一周时产生的曲面就是圆锥，固定点叫圆锥的顶点，给定的圆叫底，V与底的圆心之连线叫轴。圆锥在顶点的两侧各有一支。如果轴与底垂直，这圆锥就叫正圆锥，这就是阿波罗尼奥斯以前的圆锥。如果轴不垂直于底，这圆锥就叫做斜圆锥。他还定义直径、共轭直径、截线的轴等概念。

在定义之后，阿波罗尼奥斯给出了60个命题。在这些命题中，他用不同位置的平面去截同一个圆锥，得到椭圆、双曲线和抛物线3种曲线，这为今天的教材所采用。他又讨论了很多涉及直径、共轭直径和切线等方面的问题，这些要领也出现在今天的解析几何中。卷1还有10来个命题相当于坐标变换，又有一些作用题，要求作出满足一定条件的圆锥曲线。

卷2讨论了双曲线的渐近线，有53个命题，给出了双曲线渐近线的定义及其存在性的证明，证明了共轭的双曲线具有相同的渐近线，并探讨了直径、切线、渐近线之间的关系，提出了一些作图的问题。

卷3讨论了圆锥曲线的直径、对称轴、弦、切线、渐近线等所构成的圆形的面积及比例关系，并讨论了后来称为焦点的性质。如命题48证明了双曲线、椭圆上的点与其二焦点的二连线，和该点处的切线成等角。

卷4继续讨论卷3中的问题，并用很大篇幅讨论了圆锥曲线交点的个数。

卷5是研究极大、极小问题。

卷6讲全等相似，以及如何从一正圆锥上截出一个与已知圆锥曲线相等的曲线等作图的问题。

卷7是关于共轭直径的讨论。如命题12：椭圆的两条共轭直径上的正方形之和等于两条对称轴上的共方形之和，等等。

阿波罗尼奥斯除《圆锥曲线记》外，还有其他一些著作，但大多失传或残缺了。但我们仍能窥见他的某些成果。他讨论了很多轨迹问题，有的隐含有反演的思想；证明了与二定点的距离之比为常数（≠1）的动点的轨迹是一个圆（后人称之为阿波罗尼奥斯圆）；研究了正多面体的体积；计算了圆周率，等等。此外，阿波罗尼奥斯还推算过月球与地球的距离，并把本轮、均轮的宇宙理论推广于一切行星，同时作了详细的数学论证。

阿波罗尼奥斯使希腊几何学达到了最高水平，特别是《圆锥曲线论》充分体现了希腊几何学所达到的高难程度及美学境界。自此以后，希腊几何学没有再做出实质性的推进。同时，阿波罗尼奥斯也为古希腊传统几何学埋下了革新的种子。17世纪以后的解析几何和射影几何两大几何新领域，其思想均在阿氏的著作中现端倪。可以说，阿波罗尼奥斯在几何学上达到了他的时代所允许他达到的最高水平，是古代几何学发展史上一座最显耀的丰碑。