代数学之父丢番图

活跃于公元3世纪的丢番图（Diophantus of Alexandria）的生卒年我们难以确知，但一篇别开生面的墓志铭却为我们提供了他的生平材料：

坟中安葬着丢番图，

多么令人惊讶，

它忠实地记录了所经历的道路

上帝给予的童年占六分之一，

又过十二分之一，两颊生须，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，

可怜迟到的宁馨儿，

享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓里

悲伤只有用数论的研究弥补，

又过四年，他也走完了人生的旅途。

根据这篇墓志，可以推算出丢番图过了14岁的童年生活，21岁成年，到31岁才结婚，36岁才生了一位贵公子，确实是晚婚晚育了。他儿子活到42岁就去世了，丢番图其时已80岁，晚年丧子，自然是件令人悲伤的事，他把精力全部用于数论的研究，以求精神寄托。4年后，丢番图去世了，享年84岁。

丢番图著有《算术》13卷，《多角数》等著作。他讨论了数论和代数方面的很多问题。古希腊数学以几何的研究见长，丢番图的研究成果为我们展示了希腊数学的另一侧面。

在《算术》里，丢番图讨论了一次、二次和极少量三次方程以及大量不定方程问题。由于丢番图在不定方程的研究上卓有成效，现在的数论研究中仍把求整数解的整系数不定方程叫做丢番图方程，它已是数论中的一个分支。不过，丢番图并不局限于答案为整数而是要求正有理数解。

丢番图的《算术》是代数学的早期典范著作。引入未知数，并对未知进行运算，是代数学的重要特点。它与算术中未知数就是问题的答案，一切运算只对已知数施行的情况是不一样的。丢番图引入未知数，创设未知数的符号并对它进行运算以建立方程，这些处理方法和思想是对以往算术的重大突破，为后来的数学家费马、韦达、欧拉、高斯等接受，成为符号代数学的先驱。难怪有的数学史家把丢番图称为“代数学之父”。

丢番图创设符号来表示未知数，是数学史上的一次飞跃。但是，这些符号大多来自相应文词的字头，同时问题的叙述也仍然主要采用文字，和现代的符号代数还有很大的差距。

丢番图处理的问题大多是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于今天的x。而未知数的各次幂，却用专门的名称和符号，如：

丢番图用M表示数的单位，在希腊字母上的横线表示它在式子中为数字，未知数的系数紧接着写在未知数后面，与我们今天的记法相反。这样，丢番图就可以表示代数式了。如就相当于（x3+13x2+5x+2）。

丢番图没有加号，但有减号，所有的负项都放在减号↑之后，如（x3-5x2+8x-1）写成：对于分式和等式，丢番图也有自己的一套记法。

丢番图由于只用一个符号来表示一个未知数，遇到多个未知数时仍使用同一符号，这就使得计算过程越来越晦涩不明。为了避免混淆，他不得不发明高难度的技巧，而这又往往依他的方法失去普适性。丢番图对问题的解答只满足于一个答案，也排斥负数和无理数。由于他只满足了一个答案，也就没有必要寻找一种普遍的解法，因而借助了某些技巧就可以得到一些高难问题的特殊解。

下面我们用今天的记法来举例说明丢番图的方法。《算术》卷II第20题：求两个数，使得任意一个数的平方与另一个之和等于一个平方数。这相当于求解不定方程组

这里未知数x, y及m, n都是正有理数。

上式中有两个未知数，而丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，其余的未知数则根据问题的条件用一个含所设未知数的式子表示。设其中一个未知数为x。由于x2加上另一个未知数后仍得一个平方数，丢番图为了配成一个完全平方，便设另一个数为（2x+1）。根据题意，则这两个数还应满足（2x+1）2+x也是一个平方数。

为了使平方项可以消去，丢番图设这个平方数为（2x-2）2，于是

4x2+4x+1+x=4x2-8x+4

13x=3

这样，丢番图求得另一数为（2x+1）=

又如卷II第8题，把一个已知的平方数分解为两个平方数之和。例如这个平方数是16。

丢番图设其中一个平方数为x2，那么另一个是（16-x2）。现在要使（16-x2）=M2为平方数，不妨设m=tx-4，t为某整数，而4是16的平方根。令t=2，便有

16-x2=4x2-16x+16

于是x=这样便把16分解为

这是一个饶有趣味的问题，据说17世纪时的大数学家费马（Fermat，1601—1665）在读到丢番图著作中的这个问题时，在书页的空白处写下了这样一段话；“将一个立方数分解为两个立方数，一个四次幂分解成两个四次幂，或者一般地，将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于这，我确信已经发现了一种美妙的证法，可惜这空白地方太小，写不下了。”这里的命题今天表述为：当n是大于2的正整数时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解。这就是著名的费马大定理。

虽然费马声称自己证明了上述定理，但他的证明始终没有发现。现在人们一般相信费马的证明是错的，而费马虽然曾确其证明了一种特别的情形，但他的证明并不是完全的。费马定理300多年来吸引了众多的数学家，但至今没有人证明，也没有人能否认。前几年有位英国数学家被认为证明了费马大定理，但后来还是承认有些漏洞。费马大定理虽然还没有得到彻底解决，但对它的研究推动了数学的发展，这里无疑也有丢番图的一份功劳。

由于丢番图只用一个符号表示未知数，在遇到多个未知数时，不得不用一些词句表达；同时在多数情况下他令那些未知数取得具体的数值，使问题特殊化；加之他没有创设符号去表示数，因此所有的解法都针对具体数字而设，这样就很难得到普遍适用的一般解法。他的《算术》以问题集的形式收录了290个题目和10多个引理与推论（由于现存的只有10卷，原书实际不止此数），大体上由易到难排列，但很难看出有什么分类标准，而解法更是五花八门，没有一定之规，所以此书的缺点是显而易见的。数学史家H·汉克尔（Hankel，1839—1873）说：“近代数学家研究了丢番图的100个问题后，去解第101个问题，仍然会感到困难……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜。”

丢番图的工作，与希腊古典传统用几何表述代数问题迥然不同，从思想方法到问题的对象都给人耳目一新的感觉，反映了希腊晚期数学的另一种侧面。由于丢番图的研究和希腊重视演绎的几何具有完全不同的风格，而与巴比伦人在代数方面的成果有很多相似之处，特别是有的问题直接见于巴比伦的泥板书，所以人们推测他深受巴比伦数字的影响，甚至有人猜想他是希腊化的巴比伦人，而他的工作则被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”。当然，丢番图系统地使用符号，深入探讨了抽象的数的关系，在数论和代数领域作出了杰出的贡献，已经远远超越了巴比伦人的水平，为数学的发展开辟了新的道路，对西方数学、阿拉伯数学产生了深远的影响，甚至今天的高等数学还可以见到以他的名字命名的概念和定理。丢番图的名字至今仍闪耀着科学的光辉。