神秘的数

今天，我们都知道万物都是由原子构成的，可在2500多年以前有位哲人却提出一个很奇特的观点，认为不能把事物归于具体的物质，只有抽象的数才是万物的本质。他就是名字被西方人用来命名勾股定理的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯（Pythagoras，前570—前490）生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛，父亲谟涅萨尔库是位富有的商人。毕达哥拉斯青少年时代就热衷于学术活动，又对宗教的神秘仪式和祭典怀有浓厚的兴趣。他曾在爱琴海中的锡罗斯岛求学于费雷西底。后来他又来到米利都求学于泰利士。泰利士发现毕达哥拉斯聪颖好学，领悟力极强，而自己年事已高无法亲自施教，于是便把他介绍给自己的学生安纳克西曼德，并劝他也像自己一样到埃及去游学。公元前540年前后，毕达哥拉斯渡海去埃及游学，学习和通晓了古埃及语言、文字及各种知识，后又当过埃及僧侣，参加了埃及神庙中的祭典和秘密入教仪式。约过了10年，毕达哥拉斯被波斯国王从埃及虏往巴比伦等地，他在那里约待了5年的时间，和当地的僧侣有过交往，学习了那里的科学和哲学知识。约公元前525年左右，他回到萨摩斯岛开始讲学，并游历了希腊本土及克里特岛，考察法律和政治制度。约公元前520年，为了摆脱波利克拉底的暴政，毕达哥拉斯和母亲及唯一一个弟子离开萨摩斯，移居西西里岛，最后在克罗托内（意大利半岛南端）定居。在克罗托内，他广收门徒，建立了一个集宗教、政治和学术于一体的组织——毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯在政治上成了当地保守贵族政体的决策核心。毕达哥拉斯初到克罗托内就受到欢迎，被邀请对当地的青年、妇女和儿童作演讲。在热心的听众中有房主米洛的女儿西雅娜，这位绮年玉貌的姑娘被毕达哥拉斯迷住了，后来成了他的妻子，还给他写过传记，可惜早已失传了。

毕达哥拉斯学派宗教组织很严密。它的信徒分为两等。一等是普通听众，占大多数，他们只能听讲，不能提问，更不能参加讨论，得不到高深的知识。另一等才真正是这个学派的成员，这种成员名称的原意是掌握了较为高深知识的人，它后来演化为数学家，这就是欧洲文字中数学一词的来源。

毕达哥拉斯学派对其成员有很高的要求，他必须有一定的学术水平，接受长期的训练和考核，加入组织时要宣誓永不泄露学派的秘密和学说，严格遵守学派的清规戒律，同时通过一系列神秘的宗教仪式，以求达到“心灵的净化”。由于和政治结合在一起，毕达哥拉斯学派曾在克罗托内掌权约20年，其影响达到整个南意大利、甚至西西里岛，但他遭到两股政治力量的反对。在公元前5世纪初和公元5世纪中叶前后受到两次严重的打击。据亚里士多德的记载，毕达哥拉斯本人预感到以摩隆为代表的上层贵族会发动政变，就事先逃到另一城邦梅塔蓬图，后来他竟饿死在那里的一座文艺女神缪斯的神庙中。

毕达哥拉斯本人没有留下著作，学派的学术创造只在内部练习，对外则是秘而不宣的。所以早期只有少数成果流传于世。后来学派的组织逐渐分散，放弃了保密的信条，他们的成果才逐渐为较多的人们所知。

与泰利士把水、泰利士的学生安纳克西曼德把“不定型”作为万物的始基不同，毕达哥拉斯认为抽象的数是万物的始基（不过这个“数”只是我们今天的正整数，至于其他的数都是正整数的比，是从正整数派生出来的）。它先于可感知的万物，万物以数为模型，是模仿数派生出来的，没有数就不会有任何一种东西存在。任何一种东西之所以能够被认识，就在于它包含有一种数。数可以脱离其他事物而存在，也可以脱离其他事物而被认识，但不认识数就不能真正认识万事万物。所以毕达哥拉斯学派非常崇拜数，十分注意事物中量的关系。当然，要脱离具体事物而认识数是虚妄的梦想。所以毕达哥拉斯学派对数的认识是唯心的、先验的，他们不可能真正认识数的本质，只能在研究具体问题时把其中的数量关系归结于他们关于数的神秘信条；因此，当他们发现不可公度时，就惊慌失措了。

毕达哥拉斯学派基于数是万物本原的信条，把所有学习课程分为四大部分：1.数的绝对理论——算术；2.数的应用——音乐；3.静止的量——几何；4.运动的量——天文。合起来叫做“四道”或“四艺”，这和中国古代儒家以礼、乐、射、御、书、数为“六艺”之说有些相似。

据扬布里可记载，有一次，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，听到铁匠打铁的叮叮当当的声音，发现有时有两个音非常和谐，善于思考的他马上意识到这里存在什么奥秘。于是他比较了不同重量的铁锤敲打时发出的谐音的比例关系，进而又测定了各种音调的数学关系。后来，他在琴弦上做进一步的试验，找出了八度、五度和四度音程的关系。他发现如果一根拉紧的弦弹出一个音（例如do），那么它的一半长度弹出的音比刚才的音高八度，它的2/3弹出一个高五度的音。这几个音是谐和（调和）音，一起弹出来时就非常悦耳。把弦的长度1/2，1/3，1这3个数取其倒数时便得到2，3/2，1，它们显然成等差数列，那么弦长组成的数列就被叫做调和数列。这就是调和数列一词的起源。毕达哥拉斯研究了音程在什么情况下和谐，什么情况下不和谐。他把音程归结于数，因为音程在于一个量与另一个量的比较。毕达哥拉斯关于音律的研究具有重大的历史意义，被有的物理学史家认为是“物理定律的第一次数学公式表示，完全可以认为是今天所谓理论物理发展的第一步。”

毕达哥拉斯学派认为10是最完美的数，它由1、2、3、4这前4个自然数组成。而1代表点，2代表线，3代表三角形，4代表四面体。1是最基本的，所以他们认为数产生出点，点产生出线，从线产生出平面图形，从平面图形又产生出立体图形。而从立体又产生出可感觉的4种元素水、火、土、空气。这4种元素以各种不同的方式互相转化，于是产生出我们这个有生命的世界的万事万物。毕达哥拉斯学派认为圆和球是最完美的形体，所以他们认为日、月和五星及其他天体都呈球状，悬浮在太空中，它们运行的轨迹也是圆形的。毕达哥拉斯原来认为地球是宇宙的中心，但他的门徒后来放弃了这一主张，而认为地球围绕“中心火”旋转。他们认为数10是最完美的，宇宙总是按照最美的方式构成，所以宇宙中的天体必然是10个。但中心大，加上地球、日、月、五星（金星、木星、水星、火星、土星）才9个，于是他们设想有10个天体“对地”存在着，这样就正好凑足10个天体。由于地球人居住的半球是面向中心火和对地的相反方向，所以人类永远也看不到这两个星体。不过，有些毕达哥拉斯学派的成员放弃了存在中心火和对地的假说，把它直接理解为地球或太阳。

如果一个自然数等于它本身以外的所有因子之和，如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14等等，那么这个数叫做完全数。完全数的存在是毕达哥拉斯学派的重大贡献。在欧几里得《几何原本》中，有这样一个定理：如果1+2+22+23+……+2n是素数，那么2n（1+2+22+……+2n）是完全数。显然，2n（1+2+22+……+2n）除本身外的所有因子1，2，22，……，2n；（1+2+22+……+2n），2（1+2+22+……+2n），……，2n-1

（1+2+22+……+2n），它们的和为因此2n（1+2+……+2n-1）确是完全数。这里用到了等差数列求和公式1+2+……+2n-1=2n-1，而它却早已出现在毕达哥拉斯学派的著作中，因此有人推测毕达哥拉斯可能已经知道：当2n-1为素数时，2n-1（2n-1）是完全数。活动于公元100年前后的尼科马霍斯给出了4个完全数6，28，496，8128，它们都满足上述性质，他指出这是完全数的一般性规律。18世纪的瑞士大数学家欧拉证明每一个偶完全数n都具有形式n=2p-1（2p-1），这里p和2p-1均为素数。有关完全数的问题很多，有的至今没有得到彻底解决，如是否存在无穷多个偶完全数，是否存在奇完全数，等等。

亲和数是毕达哥拉斯另一发现。284除它自身之外的所有因子之和为220，而220除它自身之外的所有因子之和又是284，这样一对数叫做亲和数。毕达哥拉斯认为亲和数象征着友谊。当别人问“朋友是什么”时，他回答说：“另一个自我。”亲和数不大好找，第2对亲和数直到17世纪的费马才找到，这就是17296和18416。1750年，欧拉写出了60余对亲和数（包括以前已知的）。现在已知的亲和数已达千对以上。

形数是毕达哥拉斯学派的又一重要贡献。他用点代表1，组成多种图形。如图1，3，6组成的点数叫三角形数，第1个为1，第2个为1+2=3，第3个为1+2+3=6，第N个为1+2+3+……+n=（2n-1）。

而正方形数，即平方数，它们分别是1，22，32，……，n2……。

有趣的是，当我们用曲尺形按不同的方式分隔的时候，便得到不同的求和式。如第1个曲尺形围的点数为1，第1、2两个曲尺形之间围的点数为3，……第（n-1）个和n个曲尺形之间的点数为（2n-1），它们的和显然是n2，于是有1+3+5+……+（2n-1）=n2。当曲尺形放在偶数的周围时，围出的点数分别是2，4，6，8，……2n，再加上最外没有围上的点数（n+1），便得到全部点数（n+1）2，于是有2+4+6+……+2n+（n+1）=（n+1）2。

毕达哥拉斯学派最为脍炙人口的贡献是勾股定理，以至西方世界一直把它称为毕达哥拉斯定理。一般认为，他们的发现是：在直角三角形的斜边上所作的正方形等于在两条直角边上所作的正方形之和。这里所谓相等是说直角边上的两个正方形通过割开重新拼补，可以得到斜边上的正方形。设a, b，c分别是直角三角形ABC的三条边，以（a+b）为边作正方形，它由AB上的正方形加4个△ABC组成。还可以看出，大正方形由AC和BC上的正方形I、II加上两个矩形组成，而这两个矩形正好是4个直角三角形ABC，于是I+II=III。这是对毕达哥拉斯如何证明这个定理的一种推测，原来的证明方法已经失传了。

现在的资料表明，早在公元前1700年左右巴比伦就已经知道了勾股定理，比毕达哥拉斯早了1000多年。由于毕氏本人去过巴比伦，有人推测他是从巴比伦人那里学来的。不过，传说毕达哥拉斯学派把勾股定理作为他们的伟大成就，并宰了一头牛来祭神（有人认为这不可信，因为他们反对以动物作为牺牲的），从这欣喜若狂的情况看，也许是毕达哥拉斯学派重新发现了这个定理，或者至少是找到了证明的方法。中国人对这个定理有自己独特的贡献。公元前1＆nbsp；000多年的商高就知道了勾三股四弦五的特例，后来陈子又指出勾平方与股平方之和开平方后得到弦，这便是今天中学教材中勾股定理的表达方式，由于陈子的年代难以确认（有人认为在公元前六七世纪），我们把它称为勾股定理是比较合适的。

在数学史上，最让人伤脑筋的事情之一是不可公度的发现。不过，由于年代久远，他们是怎样获得这一发现的事迹都已难确认，流传至今的说法很多，比较流行的一种是：用辗转相截的方法寻求正方形的边与对角线的公度（边和对角线都等于公度的整数倍），结果发现根本不存在这种公度：

若AC是正方形ABCD的一条对角线，现在要求AC与边AB的公度。先在AC上截取AM=AB，作EM垂直AC于M，交BC于E，显然CM=ME=BE。AC截去等于AB的一段AM之后余下的一段为CM, CM＜CE＜BC=AB。现在在ABC上截取一段等于CM，因AB=BC，故在BC上截取。因CM=ME=BE，故BC上截去等于CM的一段之后余下部分为CE。CE正好是以CM为边的正方形之对角线，于是情况又和开始从AC上截取等于AB的一段完全一样，以下的步骤只是重复上述的手续而已。这样，这种程序就永远不会完结，而如果有公度则会在有限步骤之后完结，所以AC和AB必然不存在公度。

不可公度的发现表明有的量不能用整数或分数来表示，这与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的教条相矛盾，致使他们惶恐不安。由于找不到消除这种矛盾的办法，他们就企图通过保密来掩盖这事实。但这种掩耳盗铃的做法当然无济于事，不可公度的事还是传了出去。毕达哥拉斯学派讨论比和比例问题，只限于可公度的量，对不可公度是回避的，后来欧多克索通过探索，建立了通用于可公度量和不可公度量两种情形的比例理论，在很大程度上去掉了数学家们的一块心病。

毕达哥拉斯学派把一切发明都归功于学派的领袖人物，而且对外保密，这在一定意义妨碍了科学的传播与发展。由于与宗教、政治纠缠在一起，毕达哥拉斯学派具有相当浓厚的神秘主义和唯心主义色彩。尽管如此，他们承认并强调数学对象的抽象性，在证明命题方面作出了重大推进，强调数形结合，对数学的发展作出了重大贡献，使数学逐渐成为一门独立的学科，这的确是功不可没的。