2000多年来的三大难题

谈到数学，人们往往首先想到各式各样的难题，著名的数学家陈景润就因为对哥德巴赫猜想这个世界难题的解决起了重大的推进作用而名扬四海。不过，吸引参加人数最多的难题恐怕要数几何作图的三大难题了。在公元前5世纪，就有人试图求解这种难题了。虽然人们不可能解决这三大作图难题，但寻求对它们的解决无疑推动了数学的发展，这就是难题的魅力所在，也是难题的价值所在。

几何作图的三大难题是：1.化圆为方——求作一个正方形，使其面积和一已知圆相等；2.三等分任意角；3.二倍立方体——求作一立方体，使其体积等于一已知立方体的二倍。关于二倍方立体问题，据说与一神话有关：爱琴海南部有一个小岛德洛斯遭到了鼠疫的袭击，疫病夺走了很多人的生命，并随时威胁着尚未染上鼠疫的健康人。人们想尽各种办法，也未能阻止鼠疫的继续蔓延。正在不知所措、濒于绝望时，有一位先知者出现了，他声称得到了神的谕示，有一条途径可以禳灾。人们急切地问他是什么办法，他说建造一个新的立方形祭坛，使它的体积为原立方形祭坛的2倍，在此祭坛上祭神，瘟疫就可以停息。于是大家找到建筑师，要求他马上兴建。可是建筑犯难了，因为他不知怎样才能使祭坛的体积加倍。全岛的人都去想办法，但都没有找到办法。于是有人提议去请教大哲学家柏拉图（Plato，前427—前347）。柏拉图说：神的真正意图并不是要把祭坛的体积加倍，而是要让希腊人为忽视几何学而感到羞愧。

这三大难题之所以难，就难在作图工具限制在直尺和圆规的范围内。所谓直尺，就是没有刻度、只能画直线的尺。限制只用直尺、圆规作图，实际是强调用最少的基本假设，得出最强的结论。这种限制的关键在于在基本假设的前提下揭示作图的可能性和操作步骤，至于实际的图形，由于画出的点线总是有一定大小和宽度，也许用别的工具反而可以画出更精确的图来。

在古希腊，有一个巧辩学派，他们以教授学生雄辩术、修辞学、文法、逻辑、数学和天文等学科为职业。巧辩学派的学者很多都致力于用数学来揭示宇宙运行的奥秘的研究，而其中不少人对几何作图的三大难题情有独钟，虽然没能解决，却获得了很多副产品。

不过，米利都学派的安纳克萨哥拉（Anaxagoras，前500—前428）才是最早研究化圆为方问题的学者。他一心追求科学，而无心去照管自己相当数量的财富。有这么一个故事，有位农夫带给安纳克萨哥拉的朋友、著名政治家伯里克利一个前额长着一只角的公羊头，预言家朗彭把这解释为伯里克利和修昔底德（当时的贵族领袖，不是著有《伯罗奔尼撒战争史》的同名历史学家）争夺最高权力的斗争，谁获得胜利谁就得到公羊头。可安纳克萨哥拉却打开了公羊头，并做了一篇关于解剖学的简短讲演，解释了产生畸形的种种原因。这种书呆子式的举动，表现了他对当时流行的预言反感和反对迷信的立场，也是回避尖锐政治问题的一种处理方法，尤其表现了他热爱科学、献身科学的忠贞不渝的崇高精神。尽管安纳克萨哥拉与世无争，但伯里克利在政治上失利时，安纳克萨哥拉还是受到牵连。他被指责为对神大不敬，因为他主张太阳是一大块红热的石头，月球则是泥土，本身不发光，月球的光亮来自太阳。他被投进监狱，罚款并流放，还差点被处死。在监狱里他还潜心研究化圆为方的问题，可惜他的成果没有流传下来，我们无法知道他的工作进展。

安提丰（Antiphon，活动于公元前5世纪下半叶）是巧辩学派早期的成员，他研究了化圆为方的问题，采用了所谓“穷竭法”。他先作圆的内接正方形，然后顺次连接正方形顶点及各边上的弧的中点，得到一个内接正八边形，如此将边数加倍，得到正十六边形，正三十二边形……。他认为不断地继续下去，最后会得到一个正多边形，它的边与圆重合，圆与多边形的差被穷竭了。安提丰以为既然圆转化为了一个多边形，而多边形可以通过作图作出一个面积与它相等的正方形，于是圆就可以化为正方形了。安提丰的这种化圆为方的方法实际存在很大问题，因为最后得到的多边形到底每边是直的还是弯的，是一点还是有一定长度的线段，这很难解释清楚，而且即使承认有这样的多边形，要化圆为方也不能在有限的步骤里达到，所以这种处理受到强烈的攻击，亚里士多德还认为这简直不值得一提。不过，安提丰的方法开了穷竭法的先河，公元前4世纪的欧多克索正是改造、校正安提丰的方法而创立成熟的穷竭法的。

研究作图三大难题很有贡献的还有一位天真而愚拙的数学家，他就是出生于俄斯的希波克拉底（Hippocrates of chios，约活动于公元前5世纪下半叶）。希波克拉底与泰利士一样，也经过商。不过，与泰利士的机灵、精明相反，他却显得愚钝天真，容易轻信别人，时常上当受骗。据说，有一次在拜占庭（今土耳其的伊斯坦布尔）经商时，收税人利用他的愚憨骗去了他一大笔钱。还有一次，他经商时落入了海盗之手，财产丧失殆尽。于是他去雅典控告海盗，以图挽回损失。可是这位商人实在对商业天生没有兴趣，他反而经常跑到学园听课去了。他仔细钻研几何学，十分入迷，不过，在数学方面，希波克拉底却和泰利士一样聪明，他能很快学到大量高难的几何学知识，寻求解决难题的有效方法。据说，希波克拉底在毕达哥拉斯学派昌盛时期从那里学到不少东西，并与西奥多罗斯泄露了他们的几何秘密，使很多几何知识得到广泛的传播，从而推动了数学的发展。

希波克拉底认真研究了化圆为方的问题，虽然没能真正解决，却得出了很多有趣的结果。如其中简单的结论有：

1.等腰直角三角形ABC的AC边上的半圆与它的外接半圆所围成的月牙形的面积等于△ABC的π-1倍。

2.半圆弦CEFD被平分为相等的三段CME, ENF, FOD，以弦CE、EF、FD为直径向外各作一个半圆那么月牙形CGEM、EHNF、FKDO的面积之和加上一个半圆CGE的面积，便等于梯形CEFD的面积。

3.△ABC是半圆的内接等腰直角三角形，弓形AMB与弓形ANC相似，那么月牙形ACBM与等腰三角形ABC的面积相等。希波克拉底通过设计月牙形把某些特殊情况下的圆之一部分化为方形，体现了很高的几何学才能。

二倍立方体问题是希波克拉底研究后才有一定进展的。他将这个问题转化为求两条已知线段的两个连续的比例中项：设a, b是两条已知线段，x, y为a, b之间的二连续比例中项，即A：x=x：y=y：b，a3：x3=a：b（这是因为：令a：x=t, a3：x3=t3==a：b）。如果B=2A，那么x3=2A3。这样，要求作体积为已知边长A的立方形的二倍的立方体，只要求出A和2A的比例中项x和y就可以了。由于要作出这样的比例中项也绝非易事，希波克拉底根本不可能解决，所以二倍立方体问题还是悬而未决。不过，希波克拉底的工作却为后来门内劳斯发现圆锥曲线铺设了道路。

巧辩学派希皮亚斯（Hippias of Elis，约活动于公元前400年前后）在研究三等分任意角时发现一种新的曲线——割圆曲线，稍后的狄诺斯特拉托斯（Pinostratus，前4世纪）则对此进行了更细致的研究。割圆曲线是这样形成的：设AB绕A以匀速沿顺时针方向旋转到AD的位置，与此同时BC亦以匀速平移到AD。设当AB转到AD′时BC正好移到B′C′，以E′表示AD′与B′C′的交点。那么E′的轨迹就是一条割圆曲线。如果这条曲线是已经作出的，就可以利用它来三等分任意锐角。令φ是任意锐角，将它移到∠D′AD的位置，角的一边角AD′交割圆的曲线于E′，作E′H垂直AD于H，在E′H上取一点H′，使E′H′=2H′H，过H′作平行AD的直线B″C″，交割圆曲线于L，那么∠DAL=1/3φ。这样就可立即把φ三等分了。可是，由于割圆曲线不能用直尺与圆规作出，所以希皮亚斯的方法仍然没有把三等分任意角的问题解决。

几何三大难题如果没有只许用直尺和圆规的限制还是不难解决的。如利用中国古代的矩（即现在的曲尺，或称直角尺）代替古希腊的直尺，以这样求出A和2A之间的2个比例中项：AB=2a, BC=a, AB⊥BC。将两个矩的顶点分别放在CB、AB的延长线上，每矩各有一边分别过A、C，如此移动两矩，使得另一边重合，这时两矩顶点的位置分别为M、N。那么BN、BM就分别是a，2a的两个比例中项（这是因为△CBN∽△NBM∽△MBA，于是a：BN=BN：BM=MB：AB）。

几何三大难题的彻底解决是在笛卡儿创立解析几何之后，许多几何问题转化成了代数问题。这样，对如何判定几何作图问题有解才有了标准。1837年，旺策尔（Pierre laurnet wantizel，1814—1848）证明了三等分任意角及二倍立方体不可能用直尺和圆规作图。1882年，林德曼（C.L.F.LiNDEMANN，1852—1939）证明了圆周率π为超越数，从而确定了化圆为方作图的不可能性。这样，2000多年来的千古难题才终于彻底得到解决。

现在有很多人仍在研究几何三大作图难题，有的是不知道这三大难题不可能作图，有的虽然知道但仍异想天开，固执地相信自己有可能作出图来，白白地浪费了很多精力，是很可惜的。事实上，那些宣称自己已解决三大难题或其中一两个的人，都突破了直尺和圆规的限制，只要自己带着批判的眼光就可以把问题的症结找到。至于从研究几何三大难题产生副产品的角度来看，它们也不值得再花精力去研究，因为数学的发展很快，这些问题早已不再是科学研究的前沿问题了。