让希腊人摆脱不可公度魔影的欧多克索

毕达哥拉斯学派发现的不可公度，给该学派带来了恐慌，也使古希腊数学家和哲学家蒙受着魔鬼的阴影。他们试图建立可以处理不可公度量的方法，但收效不理想。直到公元前4世纪上半叶，有人终于建立了完善的比例理论，可以处理可公度与不可公度的任意情形，从而为数学的发展扫清了道路。他就是生于尼多斯的欧多克索（Eudoxus of Cnidus，前400—前347）。

欧多克索出生于一个医生世家，年轻时就读于著名的尼多斯医科学校。之后去过意大利和西西里，向阿尔哥塔斯学习几何，并受他的影响而对数论和音乐产生了兴趣。又曾向医生菲力斯顿学习医学，后来进行了他第一次雅典之行，参加了柏拉图的讲演报告会，受到了大师的哲学熏陶。几年后他代表斯巴达国王和埃及法老进行了外交接触，还结交了一些高僧。他在那里观测了希腊土地上看不到的南天星座，考察了尼罗河的涨落，对当地的风土人情和神话传说也时时留意。他见闻广博，在天文数学、医学、地理学等诸多领域都有很深的造诣。

从埃及回来后，欧多克索在基齐库斯（今马耳马拉海南岸）创办了一所学校，培养了很多学生，声誉越来越高。公元前360年至前350年间，欧多克索曾带领一批学生到了雅典，和柏拉图学园建立了更为密切的关系。尼多斯建立民主政治体后，欧多克索应邀回国，为新的政权起草了必要的法典。他在家乡继续科研和教学，获得了崇高的荣誉。

欧多克索继承了把数限于有理数的观念，而用量概念来指不可公度的和可公度的两种量。他把此定义为两个量之间存在这样的关系：如果其中一个量增大若干倍后会大于另一个量，这样任意两个同类量之间都有比。然后，他定义了4个量的比例关系（详细情况见下一则对《几何原本》中卷V的介绍）。从这个定义出发，不要涉及两个量是否存在公度，就可以处理大量的命题。这样，欧多克索就可以通过演绎逻辑建立公理化的几何体系，促进了几何学在希腊的迅猛发展。虽然欧多克索关于比和比例的定义具有深刻的思想内容，是19世纪实数理论的滥觞，与戴德金分割在思想上是一致的，但戴德金分割是定义了无理数，而欧多克索则回避了无理数是否为数的问题，他的理论着重讨论几何量。因此，欧多克索对古希腊数学侧重几何而忽视代数研究的发展趋势产生了很大影响。

欧多克索创立了成熟的穷竭法（详见下节），从而为解决一些复杂的体积、面积问题提供了有力的工具。原子论的奠基人德谟克利特（Democritus，前460—前361）提出过两条定理，一是棱锥的体积是同底等高的棱柱体积的1/3，一是圆锥的体积等于同底等高的圆柱体积的1/3，但没有给出证明。据认为，欧多克索利用他的穷竭法，给出了这两个定理的严格证明。欧多克索的穷竭法也避免了无穷步骤的使用和不可分量在证明中的引入，因而能免遭安提丰方法所受的指责，而被作为合理的方法在古希腊得到广泛的采用。

欧多克索还研究了中东比（后人称为黄金分割）和二倍立方体等问题。他在研究中东比时应用了分析法。他曾用某种机械工具给出了二倍立方体的作图，但受到柏拉图的批评，因为这种作图越出了只限于直尺和圆规的工具限制。

欧多克索在天文学上有很突出的成就。他把球面几何应用于天文研究，提出了一个以地球为中心的同心球理论，这是天文理论数学化的一次有益尝试。欧多克索还编制了一本新型的天文历书，对西方的历法产生了一定影响。

欧多克索还著有《地球巡礼》7卷，是古代地理学方面的一本有相当分量的著作。

尽管欧多克索的著作除极少量残存外，绝大多数都已残缺不全，但由于在几何、天文和地理、医学、法律、哲学等诸多领域的大量贡献让他仍闻名于后世，特别是在数学方面，他被誉为“和柏拉图同时代的最杰出的数学家”。