几何无王者之道

我们今天一说到几何学，就马上想到欧几里得（Euclid，公元前300年前后活动于亚历山大）和他的《几何原本》。的确，由于欧几里得的《几何原本》总结了公元前3世纪以前古希腊数学的杰出成就，为以后西方数学的发展起了规范作用，以至20世纪以前欧几里得几乎成了几何学的同义语。可是，对于这位杰出的科学家的生平，我们却知之不多。据研究，欧几里得是托勒密一世（Ptolemy Soter，前367—前282，前323—前283年在位，建立了托勒密王朝）时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说，可能他就是柏拉图学派的成员。他与托勒密有过交往，曾在亚历山大教过书。

欧几里得对学习讲求踏实的学风，反对投机取巧。据普罗克劳斯（Proclus，公元5世纪哲学家、科学家）记载：有一次托勒密王问欧几里得，除了《几何原本》以外，要学几何还有没有其他捷径可走。欧几里得直截了当地告诉他：“几何无王者之道。”意思是说，学习几何学必须老老实实从基本的东西学起，循序渐进，哪怕是国王，也没有捷径可走。欧几里得不仅反对浮夸的学风，而且对实用主义很反感。据说有一次，一个学生在一开始学习第一个命题之后就问他，学了几何学之后将会得到什么实利。欧几里得听了很生气，招呼他的仆人，说：“给他三个银币，因为他想从学习中获取实利哩！”《几何原本》正是欧几里得严谨学风和强调理论独立性的体现。

在欧几里得以前，古希腊学者已经积累了大量的数学命题，创立了直尺、圆规作图的形式，发明了完整的穷竭法，建立了成熟的逻辑理论，并出现了全面整理数学各方面知识的尝试性著作。欧几里得在前人工作的基础上，经过认真研究，精心安排，终于用严密的公理化演绎体系，把当时数学各个领域的知识有机地组织起来，撰成了《几何原本》这一宏伟巨著，成为数学史上的一座里程碑，对西方数学和思想产生了深远的影响。

现行标准本《几何原本》共13卷，包括了今天的平面几何、立体几何、比例、数论等方面的内容。而以几何居多，代数方面内容也多用几何方式来表达或处理。卷I首先给出23个定义。如：1.点是没有部分的；2.线只有长度而没有宽度，等等。之后是5条公设：头3条是关于作图的规定；第4条：“凡直角都相等”；第5条：“同一平面内一条直线与另两条直线相交，若在某一侧的两个内角（即同旁内角）之和小于二直角，则这二直线经过无限延长后在这一侧相交”。这条公设通常称作欧几里得第5公设或平行公设。公设之后是5条公理：如1.等于同量的量彼此相等；2.等量的等量其和仍相等；5.整体大于部分。以后的各卷不再具列公理。在欧氏此书中，公设是关于几何图形的基本规定，而公理则是关于量的基本规定。这种区分始于亚里士多德，但现代数学则不再分别而一律称为公理。

卷I在公理之后给出了48个命题。前3个是有关作图的，第4个：“如果两个三角形有两边分别相等，而且这两组边所夹的角对应也相等。那么，它们的底边（即第三边）相等，两个三角形相等，而且其余的两角对应相等”。这里，欧几里得所说的两个三角形“相等”，是指全等，即它们可互相重合。命题5：等腰三角形两底角必相等，两底角的外角也相等。这个命题现在一般是先作顶角的平分线，把等腰三角形分成两个三角形，再证明这两个三角形全等后得出结论的。但在《几何原本》中作角平分线是命题9才解决的，这里还能用，欧几里得只用前4个命题及卷首的公理和公设来证明。其证法是：

如图，延长二腰AB、AC分别至D、E（公设2），在AD上任取一点B′，在AE上截取AC′=AB′（命题3），连接B′C、BC′（公设1）。然后用命题4证明△AB′C≌△ABC′，∠ABC′=∠ACB′，＆nbsp；B′C=BC′，∠BB′C=∠CC′B，再到用命题4得到△BB′C≌△BC′C，∠B′BC=∠C′CB，即二底角的外角相等，且∠CBC′=∠BCB′，从∠ABC′和∠ACB′中分别减去它们，便得二底角∠ABC=∠ACB（公理3）。

中世纪时期，欧洲数学水平低下，学生学到命题5时便觉得角、线很多，一时难于领会，因此这个命题被称为“驴桥”，意思是“笨蛋的难关”。

命题47、48分别是勾股定理“直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形（之和）”，和它的逆定理。这里的相等不涉及长度和数的关系，而仍指拼补后重合的相等，欧几里得用全等的方法来拼补，与今天教材中用相似来证明不同。

卷II首先给出矩形和拐尺形的定义，之后是14个命题，没有公设和公理。此卷用几何形式处理代数问题。一个数（或量）用一条线段表示，两数的积被看成以两条线段为长度边所构成的矩形，数的平方根则被视为对应于这个数的正方形之一边，如命题11：把已知线段分为两段，使它和其中一条所组成的矩形等于另一条上的正方形。这个命题可以用代数方法表述为：已知a，求x-（a-x），使ax=（a-x）2。这相当于求解方程x2-3ax+a2=0。这就是把线段分为中东比（或中外比）后来叫做“黄金分割”的命题。

命题12、13是三角学中的余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC。不过《几何原本》不用三角函数而是采用几何语言来表述。

卷III首先列出11条定义。如第3条：两圆相切就是它们彼此相遇但不相交，第11条：相似弓形是那些含有相等角的弓形，或者弦在它们上的角彼此相等。之后是37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接多边形、弓形等问题。如命题35是：圆内两弦相交，其中一弦被交点所分成的两段形成的矩形等于被另一弦分成的两段组成的矩形。今天我们通常表述为：过圆同一点的两弦，被该点分成的二段之积相等。

卷III有7条定义16个命题。本卷讨论内接、外接等方面的作图。

卷V是比例论。此卷被认为是《几何原本》的最高成就。古希腊最早建立比例论的是毕达哥拉斯学派。随着不可公度的发现，希腊人认识到以前的比例论只适用于可公度的情形，而对不可公度的情形则无能为力。如果A、B是两个可公度量，即存在两个整数m, n，使得mA=mB，那么=就是一个数。当A、B不可公度时，希腊人不承认或A：B）是一个数。

这样就很难建立适合于一切量的比例论。公元前4世纪的欧多克索经过认真研究，用公理法重新建立了比例理论，圆满地解决了这个问题。由于他的原著早已失传，欧多克索的思路和工作的原貌已经难以确知。

所幸《几何原本》采用了欧多克索的很多成果，使我们对他有所了解。《几何原本》卷V就主要取材于他的工作。

卷V首先给出了18个定义。第3、4两条把两个同类量之间的一种大小关系叫做比，把两个量中之一的若干倍能大于另一量叫做二量有比。第5、6条说：4个量a, b，c, d，对于任意的一对整数m, n，当ma大于、等于或小于nb时，必定同时出现mc分别大于、等于或小于nd的情形，那么称a：b与c：d具有相同比，或者说a、b、c、d是成比例的量。第7条定义了两个比的大小：对于4个量a、b、c、d, m、n是一对整数，若ma大于nb时，nc不大于nd，则称a：b大于c：d。比例的定义思想极为深刻，近代实数理论中的戴德金分割与此思想是一脉相承的。由于欧几里得不把比和数结合起来考察，因而没有出现两个比相加减或乘除的情形，这样，无理数理论的形成也就拖到2000多年之后了。

卷V包括了25个命题，讨论比和比例，但都用几何形式表达。

卷VI给出了相似、中外比等4个定义，之后列有33个命题。此卷是卷V比和比例理论在平面图形上的应用。

卷VII至IX是关于数论的内容。卷VII先给出22个定义。如1.一个单位是凭借它每个存在的事物都叫做一，2.一个数是由许多单位合成的，这样就把数限制在可公度的量的范围内。定义之后给出了89个命题，讨论了公约数，公倍数，数的比例，素数等方面的内容。其中命题1、2用辗转相除法求最大公约数；命题30：如果一个素数能除尽某个由二数相乘所得的积，则它必能除尽这二数中的一个，这是数论中经常用到一个重要定理；命题34是求二数最小公倍数的方法。

卷VIII介绍连比例、平面数、主体数的性质，共有27个命题。如命题22：如果三个数成连比例，且第一个是平方数，则第三个也是平方数。

卷IX也只是36个命题。其中命题14：如果某一数是能被一组素数所整除的数中的最小一个，则这一组素数以外的素数不能整除这个数。由此可知：一个整数的素因子分解具有唯一性，这就是算术基本定理。

命题20：预选任意给定几个素数，则存在这几个素数以外的素数。根据这个命题可以得出：素数的个数是无穷的。

命题36是数论中的一个著名定理，若1，2，22，……，2n的和是素数，那么这个和与2N之积是一个完全数。这我们在前面已经提到过。

卷X是《几何原本》中最大的一卷，约占全书的1/4。此卷将无理量分类讨论，共有16条定义和115个命题。一般说来，这里有些可公度量与今天的有理数还是同一的，但也有些不同。如当M不是平方数时，A为有理量（线段），A与本来是不可公度的，《几何原本》认为不是“线段可公度有理量”，但仍把它叫做“正方形可公度有理量”，意思是说A与用为边所作的正方形是可公度的。

卷X的命题1是：对于两个不相等的量，如果由较大量中减去它本身之半，再由所余量中减去此余量之半，如此继续下去，必定在某个时候得到一个小于较小量的余量。这个命题是“穷竭法”的理论基础，和后面各卷有很密切的关系。欧几里得在证明这个命题时实际默认了阿基米德公理。

卷X对13类无理量给出各自的专门名称来论述。由于当时没有符号表示法，这种叙述非常困难。从今天的眼光看，这种分类没有什么意义，并没有对无理量的研究产生大的推进作用。

卷XI讲空间中的直线、平面、垂直、相交、平行、相似、立体角、柱体、锥体、球体、正多面体等，属于立体几何的范围，共有28条定义和39个命题。如命题38：正方体的一对底面的相对边被平分，又经过分点作平面，则这些平面的交线与正方体的对角线互相平分。

卷XII是穷竭法的应用。穷竭法肇始于安提丰，当时遭到不少抨击，直到后来欧多克索的改造与完善，才成为一种完备的方法。此卷没有定义，只包括18个命题。《几何原本》中对命题2的证明较能体现这种方法：ABCD和EFGH是两个圆，BD和FH分别是它们的直径。要证明两圆的比等于BD和FH上的正方形之比。

如果BD上的正方形比FH的正方形不同于两圆之比，那么这两个正方形之比等于圆ABCD与这样一个面积S之比；S要么大于圆EFGH，要么小于EFGH。

（1）如果S小于圆EFGH。

设正方形EFGH内接于圆EFGH，那么它大于圆面积之半，这是因为它是过正方形四顶点作圆切线后围成的正方形——圆的外切正方形的一半，而这个外切正方形大于圆面积。

设K、L、M、N分别是圆弧EF、FG、GH、HE之中点，那么△EKF、△FLG、△GMH、△HNE中任意一个都大于相应的弓形（如弓形EKF）之半。这是因为弓形都小于长方形EXYF。

然后平分弧EK、KF、FL、……，如此继续下去，可使得到的弓形之和小于圆EFGH与S之差（参见上面对卷X命题1的介绍）。不妨设圆的EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE上的弓形之和小于圆与S之差，那么多边形EKFLGMHN大于面积S。

作内接于圆ABCD的多边形AOBPCQDR相似于EKFLGMHN，那到BD上的正方形与FH上的正方形之比等于这两个多边形之比。因而这两个多边形之比也等于圆ABCD与S之比。由此可得圆ABCD比其内接多边形等于S比圆EFGH的内接多边形EKFLGMHN。

由于圆ABCD大于它的内接多边形，所以S也大于多边形EKFLGMHN，这与上面得到EKFLGMHN大于S的结论相矛盾，因此S小于圆EFGH的假设不成立。

（2）如果S大于圆EFGH

由逆比例，知FH上的正方形比BD上的正方形等于S比圆ABCD。所以S比圆ABCD等于圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积S′，因则FH上的正方形比BD上的正方形也等于圆EFGH比面积S′。而这是不可能的，所以S不能大于圆EFGH。

综合（1）、（2），可知S既不能大于也不能小于圆EFGH，因则BD和FH上的正方形之比等于两圆之比。

穷竭法的精神是用双重归谬法把问题反证出来，它利用有限的程序回避了无限过程的使用，是古希腊数学的精华。

最后的一卷即卷XIII只含有18个命题，讨论了中东比的若干性质、球内接正多面体的作用，也有的问题比较独立。如命题9：圆内接正六边形的一边与内接正十边形的一边之和可以分成中外比，使得分成的二段就是这两边。即设a, b别是圆内接正六边形、正十边形的边，则（a+b）b=a2。

《几何原本》为公理比演绎体系的数学树立了最早的成功典范。这是十分难能可贵的。虽然它也有这样或那样的缺点，如对点、线和面的定义就有些含糊不清，又如有的公理不是独立的，可以由别的公理推出，等等。但是，《几何原本》讲求用最少的公理、公设和定义通过演绎逻辑导出全部命题的思维，不仅对数学的发展产生了不可估量的影响，而且对西方世界注重实证的思想产生了巨大的影响。可以说西方所注重的科学精神，在《几何原本》中得到了相当充分的体现。