迷人的“秃头悖论”

一群学生来看退休多年的老教授——他们大学时代的张老师。

“啊，岁月不饶人啊！老师已经变成秃头了！”一个学生看到当年老师“黑草如茵”、现在几乎“寸草不生”的光头时，不由得发出感慨。

教授摸了摸已经谢顶的头，说：“是吗，我真的变成秃头了吗？”

“老师，对不起，您的头顶上已经没有多少头发，确实说是秃头了。”学生说。

教授：“你秀发稠密，当然不算秃头。可是，我问你，如果你的头上脱落了一根头发之后。能说是秃头吗？”

学生：“我只少一根头发，当然不是秃头。”

教授：“那好，再少一根呢？再再少一根呢……总结我们的讨论，就得到下面的结论：如果一个人不是秃头，那么他减少一根又一根头发仍然不是秃头，你说对吗？”

学生：“对！”

教授：“我年轻的时候也和你一样，一头乌黑的秀发，当时没有人说我是秃头，后来随着年龄的增高，头发一根根减少，最后到今天这个样子。但是每掉一根头发，根据我们刚才得到的结论，我都不是秃头。这样，经过多次头发的减少，并且每一次减少都使用这个结论，就得到一个新结论：我今天依然不是秃头。推而广之，任何人都不是秃头。”

学生无法回答，只好笑而不语。

张教授得意地把他故意和学生进行的诡辩，称之为“秃头悖论”——任何人都不是秃头。

秃头悖论最早是由欧几里得创立的麦加学派提出来的。德国古典哲学家黑格尔(1770～1831)在《哲学史讲演录》中也提到过它：一个满头乌发的年轻人，随着年龄的增长开始掉起了头发，最后竞成了秃头。有人问，开始掉一根头发的时候是秃头吗？不是。那再掉一根呢？也不是。如此继续。那么，掉到哪一根才算是秃头呢？

以上用的是头发的“减法”。

当然，秃头悖论还有另外一种相反的，但本质一样的说法：任何人都是秃头。这还可以用数学归纳法，从头发的“加法”角度来“证明”呢。悖证如下：

用n来表示一个人的头发根数，对n用数学归纳法。

因为，①n=0的人显然是秃头；②假定有0根头发的人算秃头，那么只多了一根头发的人也必然是秃头。

秃不秃

所以，对任意n≥1，有n根头发的人都是秃头。就是说，任何人在任何时候都是秃头。

当然，不管是“任何人都不是秃头”，还是“任何人都是秃头”，都是我们不会接受的错误说法。

那么，为什么会出现这样的悖论呢？

从数学和逻辑学上说，是因为我们把一个由普通集合论刻画的推理方法，应用到一个不能由普通集合刻画的模糊概念上去了。或者说，它把一个二值逻辑的推理，运用到一个二值逻辑所不能实行的判断上去了。

从哲学上说，量与质常常是统一的，量的变化往往就已经包含着质变。从头发根数来区分秃与不秃，绝对明显的界限是没有的，但根数的加一与减一又都必须“根根计较”。在这微小的量变之中已经蕴含着质的毫厘差别，这种差别是绝对不能简单地用“是”或“非”来描述的，一些事物只有到了黑格尔所说的“关节点”一例如水的冰点或沸点，这种差别才会显现；而且，另一些事物有时并没有绝对或明显的关节点——例如“高个子”和“矮个子”的分界点就是这样。

事实上，宇宙间的事物并不总是非此即彼。日常生活当中，就有诸如“大个子”、“小青年”这些众多模糊的说法。科学研究中的模糊现象更是难以计数。例如病毒，它有些生命现象——例如分裂繁殖，但它既没有细胞核又没有细胞壁，你说它是生物还是非生物？

由于不能用精确的“非0即1的”“计算机模式”描绘许多现实事物，这就给数学家们提出了新的课题。存这个背景下，模糊数学应运而生。

1917年秋到1919年春，年轻的周恩来(1898～1976)东渡日本留学，曾写下《雨中岚山——日本京都》一诗，其中有这样的佳句：“人间的万象真理，愈求愈模糊；模糊中偶然见着一点光明，真愈觉娇妍。”这充满哲理的诗句，既是他追求光明、追求真理的写照，也是在人生领域对模糊科学妙不可言的诠释。