迷人的“七巧板悖论”

七巧板，真好玩，

姑娘小伙都喜欢。

正方形，三角形，

七块小板拼图案。

摆只鸡，摆条鱼，

摆只蝴蝶舞翩跹。

摆小桥，摆帆船，

摆朵荷花浮水面。

随心所欲翻花样，

动手动脑乐无边。

这是一首流传在中国北方地区的“七巧板歌谣”。

七巧板是中国古人发明的拼图玩具，它以变化无穷的图案和撩人的益智魅力流传于全世界，至今风韵犹存。

左边是一个用七巧板拼成的盂状容器。可是，用同一副七巧板拼成的右边的盂状容器，中间却比左边的多出了一个三角形的“空洞”。那么这个“空洞”是怎么形成的呢？

像这类用同一副七巧板摆成似乎面积一样，形状几乎一样，难以立即判断“问题”出在哪里的现象，被称为“七巧板悖沦”。

下面的也是类似的情况。

用同一副七巧板拼成小人。有边的人没有脚，但左边的人却有脚——怎么“多”出一块板来了呢？

右边的平行四边形多了一个“空洞”——只不过这里是平行四边形状的。当然，左右两个图都是用同一副七巧板拼成的。

右边也有“空洞”，只不过它在下面，而且是正方形。当然，左右两个图也是用同一副七巧板摆成的。

“七巧板悖论”不难解决。现在加以说明。

左边的小人用了6块七巧板拼成身子，用另外1块拼成脚；右边的小人用了7块七巧板拼成身子，没有脚。显然，从面积上看，左边小人的身子比右边小人的身子要小一些，但各自总共用的7块七巧板的面积是相等的—— 这就是七巧板变换的“等(面)积原理”。

南这个原理我们知道，各自右边图形的“外围面积”，都比各自左边图形的面积多出“空洞”那么大。

国外也有类似中国七巧板的智力玩具。例如“阿基米德盒子”——“十四巧板”，“日本七巧板”，“德国七巧板”，等等。其中德国工业家阿道尔夫·李希特(Adolph Richter)博士，是一个“七巧板迷”。他发明的“七巧板”最多——到19世纪末达到36种，上述“德国七巧板”就是其中之一，也最复杂——每副“七巧板”的块数(从7块到12块不等)和形状(例如“哥伦布的鸡蛋”是卵形)各有许多种。他的最初生产积木的儿童玩具工厂，从1891年起开始生产中国的七巧板。

我们用两枚一样大的5分硬币做下面的实验。一枚A不动，另一枚B的边缘绕着A的边缘旋转，在绕转的过程中没有滑动——就像表示的那样。

现在小王问小李，当“人头”朝上的B围绕着A转了半圈之后，“人头”朝上还是朝下？

如果小李回答朝下的话，那就错了。就像表示的那样，“人头”依然朝上！

“啊！这么说，当B围绕着八转了半圈之后，B自己已经转了1圈！”小李惊讶地说。

“对！加10分。”小工说。

“这就是说，B绕着A转1圈的时候，B自己要转2圈啰……但是，A和B是一样大的，B自己应该转1圈的呀！”小李自言自语。

但事实就是：大小一样的A和B，当B绕着A转1圈的时候，B自己要转2圈，而不是1圈。

这就是有名的“转硬币悖论”。

为什么会出现这种悖论呢？

下面，我们来说明这个似乎令人难以置信的、奇怪的事实。

设半径为r的ΘO沿着一条直线滚动　它在和它的周长2πr相等的线段AB上正好滚一圈。现在，在AB的中点C将AB弯折，使CB与原来的方向成α角。于是ΘO从A出发转了半圈之后就到了C，但它要转到CB上去，就必须多转α角——中两个α角有彼此互相乖盲的两边而相等。

在这个转弯过程中，ΘO并没有沿着线段滚动，但的确多出来一个旋转角α。那么这个α是多少圈呢？由于1圈的角度是2π，所以α角就等于圈——α以弧度计量。接下去，ΘO又在CB上转了半圈，因此ΘO在整个折线ACB上一共转了1+α2π 圈。

按照这个办法，可以算得两枚一样大的硬币A、B，当B绕A转1圈(2π)的时候，B自己转了1+2π2π 圈=2圈。而这就是前面的事实。

由此我们还可以推知，一个绕凸多边形——正多边形或任意多边形，在它的外侧滚动的圆绕完各边之后转的圈数，是它在与各边总长相等的直线上所转的圈数，再加上这个多边形外角的和除以2π的商这么多圈。而任何凸多边形外角的和永远是2π，而2π2π=1。这就是说，圆在任何凸多边形外侧滚动时，滚动一周后它自转的圈数，要比它在与这个多边形的周长相等的直线上自转的圈数多一圈。例如，假设圆和多边形周长分别为5，25，那么，圆绕着多边形外侧转一周时，就自转了255+1圈=6圈。

进一步推而广之，当凸多边形边数无限增加，就成了圆，因此一个圆绕另一个等大的圆转一周后，它自己自转了(1+1)圈；绕另一个直径为它3倍的圆转一周后，它自己自转了(3+1)圈，等等。

于是，我们得出结论：一个“圆”绕一条凸封闭曲(或直)线外侧无滑动地滚动时，它自转的圈数是封闭线总长圆圈α+1圈。

最后，出一个题考考你：大小齿轮各有24和8个齿，当小齿轮绕着不动的大齿轮转1圈的时候，小齿轮转了几圈？

答案不是24÷8圈=3圈，而是24÷8+1圈=4圈。