上帝不干冤枉活

地里的麦子熟了，一只乌鸦在树上“鸟视眈眈”。但是，它要吃到麦子必须冒风险——在飞行的过程中，守麦人的子弹在等着它呢！饥饿乌鸦最终还是经不住美食的诱惑，猛然从树上飞到麦地迅速叼起一穗麦粒之后，就立即飞到对面的篱笆上。

如果我们来给乌鸦出个主意，飞行什么路线，才能用最少的时间——减少被子弹打中的危险。

乌鸦怎么叼麦粒这当然难不倒你——照那样使“人飞角”和“出飞角”相等就行了。

“人飞角”？“出飞角”？没搞错吧，我们只听说过光线的入射角和反射角！对，这“人飞角”和“出飞角”，就是从入射角和反射角的“克隆版”。不但如此，乌鸦那样飞行，就是从光线“走直线”那里学来的呢！

我们都知道，在同一种均匀物质中，光线要走直线。那么，光线遇到障碍物之后，又怎么走呢？是的，光线不会“走冤枉路”而浪费时间。

在中，如果A处射出的光线要走最短的路到达C点，就必须走ABC这唯一的路径。平面镜上的B是这样一点，使反射角(∠2)和入射角(∠1)保持相等。下面，我们用反证法来证明光线这样走，的确是走了最近的路。

假设MN上有另外的D点，能使ADC＜ABC。接下来，我们把CB延长，使它和与MN垂直的AE的延长线在F点相交。这样，就很容易证明，△AEB≌△FEB。于是，FB=AB。这就得到了ABC＝FBC。

同样，也很容易证明，△AED≌△FED。于是，FD＝AD。这也就得到了ADC=FDC。

现在，就很容易看出FDC＞FBC了——因为两点(F和C)之间直线段(FBC)最短。

看到了吧——ABC的确是最近的路。

我们知道，光线，就是按反射定律来走的。这下明白了我们给乌鸦选的那条最近当然也是最省时间的路了吧！

其实，“乌鸦怎么叼麦粒”的解答，还适用于许多场合。例如，假设有一个在A点住家的人，要到河边MN去取水，再送到父母家C，他走什么路线最近？答案也是一样的。

当然，上面的乌鸦叼麦穗和取水问题，都假设“主角”是在一段时间是匀速运动的。那么，如果不是匀速运动，又是什么结果呢？例如，人在沙地和草地走的速度就不一样。

显然，我们只能假设一些条件，使这类问题变得直观简单。那就假设一个通讯员要尽快把一份重要情报从A点送到C点的路中，在沙地的行走速度只有在草地的一半。矩形沙地(长7千米，宽2千米)和矩形草地(长7千米，宽3千米)的分界线。

走ANC这条直线的路吗？可能“不合算”——因为在沙地里走的速度慢，路线比较长。走AEC这条路吗？也可能“不合算”——因为，虽然在沙地里走的路线短一些，但是在草地里走的路线却长了许多。

实际上，应该走AMC这条路。那AMC是怎样一条路呢，M又是怎么样的点呢？

M这样的点中的∠a和∠b有sin∠b∶sin∠a=2∶1的关系。这里，2∶1是在草地的行走速度：在沙地的行走速度。

相信读者能用勾股定理和三角知识计算出，走ANC这条路用的时间最长，走AEC这条路用的时间要短一些，而走AMC这条路用的时间最短。

那为什么走AMC这条路用的时间最短呢？我们还是请老朋友光线来帮忙吧。

在光学中，有一个折射定律可说明。前面通讯员走的，就是这里光线走的路。当然，只是光线从光密媒质进入光疏媒质的情形。折射定律最早是由荷兰数学家斯涅耳(1580或1591～1626)在1621年最先发现的。而法国数学家兼物理学家笛卡儿(1596～1650)则在1637年著的《折光学》中，最先在理论上对它加以论证，并表达为今天的形式。

乌鸦和通讯员应该走光线走的路，才最省时间，这是一个原理——“费马原理”在光学中的体现。光的反射定律和折射定律，都可以从费马原理推导出来。

斯涅耳笛卡儿

费马费马(1601～1665)是法国的“业余数学之王”。他在研究了许多自然现象之后，大约在1740年提出了“最小作用(量)原理”——后人称为费马原理。

最小作用原理又称为“极小作用原理”或“稳定作用原理”。它认为，大自然发生的各种现象，都只消耗最小的能量——“上帝不做无用功”或“上帝不干冤枉活”。费马还认为，蜜蜂建造六角形的蜂巢，能最大限度地节省蜂蜡，也是基于这个原理。

莫佩都德国数学家莱布尼茨(1646～1716)对发展最小作用原理做过力学上的发展。1743年初，瑞士数学家欧拉(1707～1783)也得出这一原理的某些结论，并载于次年秋发表的关于变分法的一本书名很长的书中。

法国数学家兼哲学家莫佩都(1698～1759)受到费马原理的启发，得到了它的表示式，并在1744年4月15日把论文提交给了法国科学院。后来，最小作用原理又有新发展。法国数学家拉格朗日(1736～1813)给出了一个关于最小作用原理的令人满意的描述；而在1834～1835年间，英国数学家兼物理学家哈密顿(1805～1865)在论文《动力学的一般方法》中，则用“哈密顿原理”把它覆盖。

最小作用原理广泛用于光学、力学等各个领域。例如，悬挂在两个固定点的细绳，它一定会形成使自己重心最低的形状——数学和物理学中著名的“悬链线”。又比如，一块大石头从山上滚下到山脚的时候，它一定会选择花最短时间的道路……