“观阴阳之割裂，总算术之根源”

——记刘徽与《九章算术注》

亲爱的青少年朋友，现在的玩具店里，正在卖一种很抢手的儿童玩具——幻方，又称魔方。据说，它是一种风行于欧洲乃至世界的玩具。它的数字妙趣横生，变化无穷。您知道魔方的来历吗？它来源于中国古代的传说，并记入了中国古代哲学与数学的典籍。

古代传说伏羲氏时，有龙马从黄河中出现，马背上负着“河图”；有神龟从洛水中出现，背负着“洛书”。伏羲氏根据“河图”与“洛书”，画成八卦，演成《周易》一书。所谓“河图”是一至十的圆点组成的方阵图；所谓“洛书”是一至九的圆点组成的纵横图，又称九宫图。

宋代朱熹将这个传说写入《周易本义》，后人对“河图”与“洛书”做了今译。

这两个传说及其数字，说明了我国古代数学起源是很早的。“洛书”的数字，纵、横、斜之和，都是15。“洛书”后来演变成“幻方”，深受青少年朋友的热爱。

下面我们要向青少年朋友讲述的就是我国古代数学家刘徽及其主要贡献。

刘徽的生平与时代

刘徽的生平，我们所知甚少。只有3个古代文献提到他的生平。第一是《隋书·律历志》说：“魏陈留王景元四年，刘徽注《九章算术》。”

据此，我们知道刘徽生活于曹魏与西晋时期，陈留王景元四年是公元263年。

第二是《九章算术注·刘徽序》，说幼习《九章》，长再阅读览。观阴阳之割裂，总算术之根源泉，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽愚，采其所见，为之作注。可知，他对《九章算术》的研究与注释是十分用心的。

第三是《畴人传》说：“徽寻九数有重差之名，原其指趣，乃所以施于此也。凡望极高，测绝深而兼知其远者，必用重差。勾股则必以重差为率，故曰重差也。立两表与洛阳之城，令高八尺。南北各尽地平，同日度其正中之影。”引文告诉我们，刘徽曾运用他的重差理论，参加了洛阳城的春、秋分与冬、夏至的影差测定工作。

《畴人传》不说：“旧术求圆，以周三径一为率。徽以为疏，遂更张其率。”可知，刘徽认为周三径一的圆周率不够精确，进行了进一步的推算工作，并取得了新的较为精密的数据。

我国现存内容完整的最古老的数学书

刘徽的最大数学贡献是为《九章算术》作注，我们要了解刘徽的数学成就，就必须从《九章算术》说起。《九章算术》是我国古代流传至今，内容完整的最古老的数学书。在它之前，还有一本《周髀算经》，就其形成完整体系与成就来衡量，都不及《九章算术》。

《九章算术》含蕴丰富，用现代数学衡量，它包含有系统的分数四则运算，面积和各种体积计算，开平方与开立方的运算方法，各种分配比例问题、正负数概念和正负数加减法则、多元一次联立方程的解法和一般二次方程（首项系数非负数）的解题方法等等。

《九章算术》的内容涉及算术、几何、代数的诸多问题。其中，负数概念的引入，多元一次联立方程的解和系统的分数四则运算等问题的提出，都是领先于世界其他各国的杰出成就。

《九章算术》以问题集的方式成书。全书共收载246个应用数学问题以及各类问题的解法。从记载的内容看，有先秦时期流传下来的老算题，也有西汉以后的新算题。刘徽的序文说：“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌，皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。”可知，是由张苍、耿寿昌增补编辑成书。

《九章算术》分为9章，依次为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

第一“方田”章，主要是亩计算问题。涉及了方田，即正方形和长方形；圭田，即三角形；箕田，即梯形；圆田，即圆形等面积计算，列出的计算公式都是正确的。弧田，即弓形，所用计算面积公式为经验公式。本章还叙述了分数的加减乘除四则运算的方法，与现代的分数计算方法基本一致。

第二“粟米”章，主要是各种粮食交换的比例问题，共46个问题，都是按今有数据推算所求数据的问题，称为“今有术”。刘徽与唐代的李淳风也以“今有术”为这种算法命名。

第三“衰分”章，收集的也是按一定比率分配的问题。程大位在《算法统宗》中，解释衰分问题时说：“衰者，等也。物之混者，求其等而分之。以物之多寡求出税，以人户等第求差役，以物价求贵贱高低者也。”用现代的术语来说，就是配分比例问题。

第四“少广”章，是由已知图形的面积和体积，求其边长的问题。提出并运用了开平方、开立方的方法。古人解释少广，其意是计算面积时要“广少而从多，需截多以益少”。

第五“商功”章，是关于各种体积的计算。包括“方土保土寿”，就是立方体和长方体；“圆土保土寿”，就是圆柱体；“方锥、方亭”，就是平截头的方锥体；“圆亭”，就是平截头的圆锥体；“堑堵”，就是正三角柱；“阳马”，就是一棱和底面垂直的方锥；“鳖月需”，就是直角三角锥；“刍童”，就是平截头的长方锥；“羡除”，就是楔形体等等。

第六“均输”章，按明代数学家程大位的解释：“此章以户数多寡，道里远近，而求车数、粟数；以粟数高下而求税值；以钱数多少而求佣钱。”也就是按人口多少，道路远近，谷物贵贱推算赋税及徭役的方法。就其算法而言，也是分配比例问题。

第七“盈不足”章是研究盈亏问题。先列出适当的公式，通过两次假设，分别计算出盈余或不足的数量，然后代入计算公式中，就可以得到所要求的结果。

第八“方程”章，介绍了联立一次方程组的消元解法。一般题中的方程，含有3个未知数，用消元的原理，依次消去方程中的未知数，先消三为二，再消二为一，就可以求出所需的数目。这与现代数学中，通用的方法实质上是一样的。

本章中，引入的负数概念，提出的正负数加减法则，在世界数学史上，都是首创的数学成就。

第九“勾股”章，叙述了勾股定理的应用和相似直角三角形的解法。古人称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦。

全书9章所涉内容广博，所收问题多与实际生活有密切关系。这充分说明了我国古代数学，来源于生产实践和生活实际，这也体现了我国古代数学服务于生产实践和生活实际的优良传统。

刘徽《九章算术注》的杰出贡献

由于《九章算术》以问题集的形式成书。它的叙述体例是先列一个或几个问题，然后再归纳求解问题的方法或直接做出结论。这样，就产生了一大缺点，即对解法与结论缺少必要的解释与说明。而对解法与结论所依据的理论，几乎没有任何系统的探讨。

刘徽的《九章算术注》，正是为了弥补这个缺陷而著述。在《九章算术注》中，他精辟地阐明了各种解题方法的理论，通过简要的证明，论述了书中解法的正确性。指出了一些近似解法的精确程度和个别解法的错误。刘徽的注文，进行了创造性的工作，增加了许多新的理论，远远超出了原著。可以毫不夸张地说：刘徽的数学理论阐述，为建立具有独特风格的我国古代数学理论体系打下了坚实的基础。

刘徽的第一大贡献是创立了“割圆术”。为圆周率的推算建立了严密的理论和完善的方法，开创了圆周率研究的新阶段。

计算圆面积、圆周长、球表面积、球体积等，都要用到圆周率的数值。因此，推算出π的精确数值，在理论和实践上，都意义重大。世界各国的数学家都为π的精确数值，做了种种努力，刘徽在这个领域中，是居于世界前列的。

《九章算术》用的是周三径一的比率，这是很不精密的。其后，数学家们进行了许多探索。西汉的刘歆，采用的圆周率是3.1547，东汉的张衡在天文计算中，采用的圆周率是相当于3.1466；在球体积计算时，又用过10的平方根，相当于3.1622。三国时期的王蕃曾用过相当于3.1556。这些圆周率的数值，比周三径一有一些进步，但还不够精密，特别是没有说明理论依据。

刘徽的“割圆术”，其主要内容与依据有四：①圆内接正六边形，每边的长等于半径。②根据勾股定理，从圆内接正n边形每边的长，可求出圆内接正2n边形面积。③从圆内接正n边形每边的长，可以直接求出圆内接正2n边形的面积。④当圆内接正多边形边数无增加时，其周长就越逼近圆周长，其周长的极限即为圆周长，面积的极限即为圆面积。

刘徽从圆内接正六边形算起，边数逐步加倍，求到192边形的面积，求得π的近似值为3.14。他又继续求到圆内接正3072边形的面积，验证前面的结果，并得出更精确的圆周率近似值π＝3.1416。这是当时世界上圆周率的最佳数据。

欧洲数学家在探讨圆周率精确值时，希腊数学家安提丰早在公元前5世纪，就提出了圆内接正多边形的面积接近圆面积，但是他没有用来计算圆周率π的近似值。阿基米德在公元前3世纪提出圆周长介于圆内接多边形周长与圆外切多边形周长之间，但他避开了无穷小和极限。而刘徽应用了极限，计算方法上只用圆内接正多边形面积而不用阿基米德的圆外切多边形面积，计算程序上十分简便，可收事半功倍之效。为解决圆周率问题，刘徽运用了初步的极限概念和直曲转化思想，在1500年前的古代是十分难能可贵的。

刘徽《九章算术注》的第二项贡献是“齐同术”。“齐同术”就是分数加减法中的通分法。刘徽说：“凡母互乘子，谓之齐，群母相乘，谓之同。同者，相与通共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”就是说分母相同，分数才能相加减。刘徽还把“齐同术”用于一元联立方程组的解法中，提出了互乘相消法，使消元过程简化明晰。

刘徽的第三项贡献是“今有术”。刘徽用“今有术”来说明正比例、反比例、复比例等解算方法。如《均输》章第17题：“今有客，马日行300里，客去，忘持衣。日已主人乃觉，持衣追及，与之；而还至家，视日。问主人马不休，日行几何？”刘微作注说：“主人用日率者，客马行率也。客人用日率者，主人也行率也。母同则子齐，是为客马行率5，主人马行率13，于今有数300里为所有数，13为所求率，5为所有率，而今有之，即得也。”引文意思是说二马所花费的时间（用日率）与马行的速度（马行率）成反比例。

主人用日率是日，客人用日率是日。

依据用日率和马行率成反比例的道理，可知客人马行率与主人马行率的比为5∶13。所以，主人马日行数为：

300×13÷5＝780里。

这就是今有术解反比例问题的解题方法。

刘徽的第四项贡献是“图验法”。他用“图验法”的“以盈补虚”来证明各种平面图形的面积公式。

以三角形（圭田）为例，三角形ABC的面积等于长BC×高AD×。

通过作辅助线得到长方形GLKH，E为AB的中点，F为AC的中点，这样△AEG＝△BEL，△AFH＝△CFK

刘徽采取“以盈补虚”的图验法，将△BEL补入虚线形成的△AEG，将△CFK补入虚线形成的△AFH，形成长方形GLKH，恰等于△ABC，即BC×AD的。

刘徽的第五项贡献是“棋验法”，他用“棋验法”拼凑证明各种立体图形的体积公式。他分析了立方体（包括长方体）、“堑堵”、“阳马”、“鳖月需”等形体间的关系，得出结论认为如果立方体的长、宽高是a、b、c，立方体的体积是a×b×c。那么“堑堵”的体积为，“阳马”的体积是“鳖月需”的体积是刘徽用立方体、“堑堵”、“阳马”等为“棋”（基本立体模型），拼合证明“方锥”、“刍童”、“羡除”、“方亭”等形体的体积公式。例如，1个“方亭”可以用“棋验法”证明是由1个“方柱”、4个“堑堵”、4个“阳马”所组成。

“棋验法”是“图验法”的发展，这些方法简单易懂，便于应用，体现了我国古代数学的独特风格。近代，有的学者将刘徽分析证明上述斜解长方形所得阳马和鳖月需的体积成2∶1的理论，称为刘徽原理。刘徽的《九章算术注》确立了多方体体积问题的理论体系。